域扩张

我们考虑域的一般结构。域论探讨的基本课题是域嵌入,或者说域扩张。我们主要考察代数扩张,采取的角度是系统地利用代数闭包的存在性,对代数扩张尽量广泛的处理。

代数初步

代数学中出现的许多环结构同时是域上的向量空间:环的加法来自向量空间的加法,而乘法(x,y)\mapsto xy是向量空间上的双线性型。典型的例子是域k上的n\times n矩阵环M_n(k)

交换环上的代数

以下设R是非零的交换幺环。所谓的代数都是要幺的结合代数。

定义 环R上的代数式一个具有环与R-模结构的结合$latex $A,使得环乘法(x,y)\mapsto xy是平衡积,亦即

\displaystyle (rx)y=x(ry)=r(xy),\ \ x,y\in A,\ r\in R.

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