L^p (1<p<infty) 的一致凸性

定理. 设(X,\mathcal{X},\mu)是测度空间. 当1<p<\infty时, L^p(X)是一致凸的.

证明. 首先注意到2<p<\infty的情形根据Hanner不等式立刻得到.下面考虑1<p<2的情形, 根据Hanner 不等式, 我们有

\displaystyle \|2f\|_{L^p}^p+\|2g\|_{L^p}^p\geq (\|f+g\|_{L^p}+\|f-g\|_{L^p})^p+|\|f+g\|_{L^p}-\|f-g\|_{L^p}|^p.

在上式中令\|f\|_{L^p}=\|g\|_{L^p}=1, 那么有

\displaystyle  (\|f+g\|_{L^p}+\|f-g\|_{L^p})^p+|\|f+g\|_{L^p}-\|f-g\|_{L^p}|^p\leq 2\cdot 2^p\ \ \ \ \ (1)

注意到对于a\geq b\geq 0, 我们有下面的估计:

\displaystyle (a+b)^p+(a-b)^p\geq 2a^p+p(p-1)a^{p-2}b^2\ \ \ \ \ (2).

分为有两种情形:

(1) \|f-g\|_{L^p}\leq \|f+g\|_{L^p}, 根据(1)式和(2)式可得

\displaystyle 2\|f+g\|_{L^p}^p+p(p-1)\|f+g\|_{L^p}^{p-2}\|f-g\|_{L^p}^2\leq 2\cdot 2^p.

因此

\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|_{L^p}^p\leq 1-\frac{p(p-1)}{2}\left\|\frac{f+g}{2}\right\|_{L^p}^{p-2}\left\|\frac{f-g}{2}\right\|_{L^p}^2\leq 1-\frac{p(p-1)}{2}\left\|\frac{f-g}{2}\right\|_{L^p}^2.

(2)  \|f+g\|_{L^p}\leq \|f-g\|_{L^p},则

\displaystyle 2\|f-g\|_{L^p}^p+p(p-1)\|f-g\|_{L^p}^{p-2}\|f+g\|_{L^p}^2\leq 2\cdot 2^p.

因此

\displaystyle \left\| \frac{f-g}{2} \right\|_{L^p}^p+\frac{p(p-1)}{2}\left\|\frac{f-g}{2}\right\|_{L^p}^{p-2}\left\|\frac{f+g}{2}\right\|_{L^p}^2\leq 1\ \ \ \ \ (3).

\|\frac{f+g}{2}\|_{L^p}\leq \frac{1}{2}时, 我们平凡地有

\displaystyle \left\|\frac{f+g}{2}\right\|_{L^p}<1-\delta.

因此可以假设\| \frac{f+g}{2} \|_{L^p}\geq \frac{1}{2}, 那么由(3)式可得

\displaystyle \left\| \frac{f-g}{2} \right\|_{L^p}^p+\frac{p(p-1)}{2}\left\|\frac{f-g}{2}\right\|_{L^p}^{p-2}\cdot \frac{1}{4}\leq 1.

注意到\|\frac{f-g}{2}\|_{L^p}\leq 1, 因此\|\frac{f-g}{2}\|_{L^p}^{p-2}\geq 1因为1<p<2, 因此

\displaystyle \left\|\frac{f-g}{2}\right\|_{L^p}^p+\frac{1}{8}(p-1)p\leq 1.

因此

\displaystyle \left\|\frac{f-g}{2}\right\|_{L^p}<1-\delta.

因此根据假设 \|f+g\|_{L^p}\leq \|f-g\|_{L^p}\leq 1-\delta